Encore une inegalité

Montrer que pour a,b,c reels postifs :

a³+b³+c³ >= 3abc

Indication : on peut fixer b et c puis penser à étudier un fonction de variable a .

Ce ne serait pas le même problème que celui-ci ? https://matlesvacances.forumgratuit.org/t22-inegalite-classique

Ah oui c'est vrai :p j'ai completement oublié ca. Mais comme on est en maths c'est pas les exos qui manquent. Par exemple :

Montrer que pour tout réels a,b,c,d :

a⁴+b⁴+c⁴+d⁴ >= 4abcd

Montrer que pour tout réels a,b,c,d :

a4+b4+c4+d4 >= 4abcd


(a²-b²)² >= 0
(a²)² + (b²)² >= 2a²b²
a4 + b4 >= 2a²b²

de même
(c²-d²)² >= 0
(c²)² + (d²)² >= 2c²d²
c4 + d4 >= 2c²d²

par somme :
a4 + b4 + c4 + d4 >= 2(a²b²+c²d²)

Montrons alors que 2(a²b²+c²d²) >= 4abcd

(ab-cd)² >= 0
2(ab-cd)² >= 0
2[(ab)² - 2abcd + (cd)²] >= 0
2[a²b²+c²d² - 2abcd]
2(a²b²+c²d²) - 4abcd >= 0
2(a²b²+c²d²) >= 4abcd

Donc a4 + b4 + c4 + d4 >= 2(a²b²+c²d²) >= 4abcd
<=> a4 + b4 + c4 + d4 >= 4abcd

Voilà !