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Encore une inegalité

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1 Encore une inegalité le Jeu 9 Fév - 22:39

Admin


Admin
Montrer que pour a,b,c reels postifs :

a3+b3+c3 >= 3abc

Indication : on peut fixer b et c puis penser à étudier un fonction de variable a .

http://matlesvacances.forumgratuit.org

2 Re: Encore une inegalité le Ven 10 Fév - 18:21

Rafik


Ce ne serait pas le même problème que celui-ci ? http://matlesvacances.forumgratuit.org/t22-inegalite-classique

3 Re: Encore une inegalité le Ven 10 Fév - 21:50

Admin


Admin
Ah oui c'est vrai :p j'ai completement oublié ca. Mais comme on est en maths c'est pas les exos qui manquent. Par exemple :

Montrer que pour tout réels a,b,c,d :

a4+b4+c4+d4 >= 4abcd

http://matlesvacances.forumgratuit.org

4 Re: Encore une inegalité le Mar 20 Mar - 20:49

Rafik


Montrer que pour tout réels a,b,c,d :

a4+b4+c4+d4 >= 4abcd


(a²-b²)² >= 0
(a²)² + (b²)² >= 2a²b²
a4 + b4 >= 2a²b²

de même
(c²-d²)² >= 0
(c²)² + (d²)² >= 2c²d²
c4 + d4 >= 2c²d²

par somme :
a4 + b4 + c4 + d4 >= 2(a²b²+c²d²)

Montrons alors que 2(a²b²+c²d²) >= 4abcd

(ab-cd)² >= 0
2(ab-cd)² >= 0
2[(ab)² - 2abcd + (cd)²] >= 0
2[a²b²+c²d² - 2abcd]
2(a²b²+c²d²) - 4abcd >= 0
2(a²b²+c²d²) >= 4abcd

Donc a4 + b4 + c4 + d4 >= 2(a²b²+c²d²) >= 4abcd
<=> a4 + b4 + c4 + d4 >= 4abcd

Voilà !

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