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Inegalité classique

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1 Inegalité classique le Mar 18 Oct - 19:43

Admin


Admin
Soit x et y deux réels,montrer que : x²+y²>= 2xy (le signe >= signifie supérieur ou égal).

Maintenant si a,b et c sont des réels positifs,montrer que (a+b)(b+c)(c+a)>= 8abc .

Question bonus: quels sont les cas d’égalités dans les inégalités précédentes ?

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2 Re: Inegalité classique le Mer 26 Oct - 21:42

Matthias


Pour le 1ere c'est simple : (x-y)²>=0 donc x²-2xy+y²>=0 donc x²+y²>=2xy

on cherche x²+y²=2xy (x-y)²=0, x-y=0 donc x=y

Pour la seconde : on fait un raisonnement analyse synthèse.

On a (a+b)(b+c)(c+a)>= 8abc on développe le membre de gauche pour voir si on a pas autre chose de plus utile : 2abc + a²(b+c) + b²(a+c) + c²(b+a) >= 8abc

ce qui revient à montrer :

b²a - 2abc + c²a + a²b - 2abc + c²b + a²c - 2abc + b²c >= 0

donc

a(b²-2bc+c²) + b(a²-2ca+c²) + c(a²-2ab+b²) >= 0

a(b-c)² + b(a-c)² + c(a-b)² >= 0

or a,b et c sont positifs donc on a une somme de nombres positifs ou nul donc le membre de gauche est positif ou nul. L'équation est toujours vrai. On en déduit que (a+b)(b+c)(c+a)>= 8abc par le raisonnement qu'on vient de faire.

On cherche (a+b)(b+c)(c+a)= 8abc , a(b-c)² + b(a-c)² + c(a-b)² = 0 . Il suffit que a=b=c . Je ne sais pas s'il y a d'autres possibilités mais je n'en ai pas trouvé Embarassed

3 Re: Inegalité classique le Lun 31 Oct - 13:45

Admin


Admin
Bien joué Matthias Very Happy Ta reponse est bonne.En plus elle donnait tous les cas d'egalité donc tu ne devais pas te demander si il y avait d'autres.

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