Inegalité classique

Soit a , b , c des réels positifs. Montrer que :
a³ + b³ + c³ >= 3abc

Soit a,b,c trois réels positifs :

(a-b)² >= 0
a²-2ab+b² >= 0
a²+b² >= 2ab
1/2 (a²+b²)>= ab

Donc par analogie, 1/2 (b²+c²) >= bc et 1/2 (a²+c²) >= ac

Par somme, 1/2 (a²+b²) + 1/2 (b²+c²) + 1/2 (a²+c²)>= ab+bc+ac
donc 1/2 (a²+b²) + 1/2 (b²+c²) + 1/2 (a²+c²) -ab-bc-bc >= 0
Or, 1/2 (a²+b²) + 1/2 (b²+c²) + 1/2 (a²+c²) = a²+b²+c²
donc a²+b²+c²-ab-bc-bc >= 0

Ensuite, a+b+c >= 0
Par produit, (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-bc)>= 0

Identité de Gauss : a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-bc)


Donc, a3+b3+c3-3abc >= 0
a3+b3+c3 >= 3abc


Voilà ^^