Divisibilité

Définition: On dit que a divise b s’il existe un entier c tel que b=a*c.
On dit alors que b est un multiple de a.

Montrer que pour tout entier n :
a) 4ⁿ+5 est un multiple de 3.
b) 3ⁿ⁺³ -4⁽⁴ⁿ⁺²⁾ est divisible par 11.

Admin a écrit: Définition: On dit que a divise b s’il existe un entier c tel que b=a*c.
On dit alors que b est un multiple de a.

Montrer que pour tout entier n :
a) 4ⁿ+5 est un multiple de 3.
b) 3ⁿ⁺³ -4⁽⁴ⁿ⁺²⁾ est divisible par 11.

a) 4 est congrue à 1 modulo 3
D'ou 4^e est congru à 1^n modulo 3
Donc 4^n est congru à 1 modulo 3

4^n + 5 congru à 6 modulo 3
Or 6 est congru à 0 modulo 3
D'ou 4^n + 5 est congru à 0 modulo 3
Donc 4^n + 5 est divisible par 3 càd 4^n + 5 est un multiple de 3.

Oui reponse correcte pour la question a. Il y a aussi une solution par recurrence ( je te laisse chercher) . Pense à ca pour la question b

Admin a écrit:Oui reponse correcte pour la question a. Il y a aussi une solution par recurrence ( je te laisse chercher) . Pense à ca pour la question b

Montron par réccurrence que 4^n + 5 est divisible par 3.

Initialisation:

n = 0 1 + 5 = 6 6 est bien un multiple de 3.

Hérédité.

Supposons que pour un n quelconque fixé dans N, 4^n + 5 = 3k k appartenant à Z.
Montrons alors que 4^n+1 + 5 est divisible par 3.

4^n + 5 = 3k
4^n x 4 + 5 = 3(4k)
4^n++1 + 5 = 3(4k) 4k appartenant à Z
D'ou 4^n+1 + 5 est un multiple de 3.