Inegalité classique

Soit x et y deux réels,montrer que : x²+y²>= 2xy (le signe >= signifie supérieur ou égal).

Maintenant si a,b et c sont des réels positifs,montrer que (a+b)(b+c)(c+a)>= 8abc .

Question bonus: quels sont les cas d’égalités dans les inégalités précédentes ?

Pour le 1ere c'est simple : (x-y)²>=0 donc x²-2xy+y²>=0 donc x²+y²>=2xy

on cherche x²+y²=2xy (x-y)²=0, x-y=0 donc x=y

Pour la seconde : on fait un raisonnement analyse synthèse.

On a (a+b)(b+c)(c+a)>= 8abc on développe le membre de gauche pour voir si on a pas autre chose de plus utile : 2abc + a²(b+c) + b²(a+c) + c²(b+a) >= 8abc

ce qui revient à montrer :

b²a - 2abc + c²a + a²b - 2abc + c²b + a²c - 2abc + b²c >= 0

donc

a(b²-2bc+c²) + b(a²-2ca+c²) + c(a²-2ab+b²) >= 0

a(b-c)² + b(a-c)² + c(a-b)² >= 0

or a,b et c sont positifs donc on a une somme de nombres positifs ou nul donc le membre de gauche est positif ou nul. L'équation est toujours vrai. On en déduit que (a+b)(b+c)(c+a)>= 8abc par le raisonnement qu'on vient de faire.

On cherche (a+b)(b+c)(c+a)= 8abc , a(b-c)² + b(a-c)² + c(a-b)² = 0 . Il suffit que a=b=c . Je ne sais pas s'il y a d'autres possibilités mais je n'en ai pas trouvé

Bien joué Matthias Ta reponse est bonne.En plus elle donnait tous les cas d'egalité donc tu ne devais pas te demander si il y avait d'autres.