cos (n) ne connait pas ses limites, c'est pour ca qu'il évite de boire

Si quelqu'un (parmi les jeunes) sait prouver que cos(n) n' a pas de maximum, le père Fourier sera sur le cul ! La fiche du poly sur les sous groupes de R peut donner des idées ...

N'hésitez pas à poser des questions ou proposer des choses pour les énigmes de maths. Il est normal que les solutions ne viennent pas tout de suite

Salut,
Au début, je suis restée bloquée sur l'expression "maximum" puisque:
Soit la fonction f(x) de IR->IR, x |-> cos(x). ∃ x max tq f(x max)≥ f(x).
Ce maximum est atteint une infinité de fois en y max= 1 pour tout les antécédents vérifiant x= 0 [2π ].

Du coup, j'ai déduis qu'il fallait comprendre "limite". Et justement, lorsqu'on a fini d'aborder ce chapitre en classe, ma prof a rapidement fait allusion à cette propriété: Toute fonction périodique de IR->IR ayant une limite en +∞ ou en -∞ est constante. (Ici, c'est la contraposée qui nous intéresse.)Voici donc où j'en suis, j'avoue que je n'ai pas relu le chapitre sur les groupes, donc il me manque sûrement des éléments; je trouvais celui sur ε plus approprié. J'ai essayé de montrer une absurdité dans les inégalités suivantes, mais j n'y arrive pas:
" Supposons que f(x) admet une limite en l en +∞ ou en -∞. Cela implique que, ∀ ε > 0, ∃ un rang xo tq ∀x ≥ xo on a:
l-ε < f(x) < l+ε , f(x)∈ ]l-ε;l+ε[ et |f(x)-l|≤ε."

À part ça, je me dis qu'on peut utiliser le principe d'unicité de la limite (si elle existe). Il y aurait une incohérence car la fonction tendrait à la fois vers 1 et -1, donc elle ne serait pas convergente donc elle serait divergente (tiers exclut).
Bon, je fais une petite pause parce que je n'arrive plus à avancer. A+.

Le problème est bien de montrer que cos(n), avec n entier, n'a pas de maximum. Or, comme pi est irrationnel (ce résultat pourrait lui aussi faire l'objet d'une fiche), tu n'auras jamais que n=2k pi et donc cos(n) n'est jamais égal à 1. Mais cela ne suffit pas à prouver que cos(n) n'a pas de maximum (pourquoi ?).

Pour ce qui est de la limite, soit tu essayes de prouver le résultat avec des epsilons, soit tu utilises l'unicité de la limite (qui se prouve déjà avec des epsilons).

> Si quelqu'un (parmi les jeunes) sait prouver que cos(n) n' a pas de maximum,

Jeune, ça finit quand? Parce que moi je veux jouer!