Inegalité facile

1) Montrer que pour tout x>0 et y>0 : x/y + y/x >= 2 .

2) Montrer que pour tout a,b,c>0 : (a+b)/c + (a+c)/b + (c+b)/a >= 6

(x-y)² >= 0
(x-y)²/xy >= 0/xy
(x² + y² - 2xy)/xy >= 0
(x²+y²)/xy - 2 >= 0
x²+y²/xy >= 2
x²/xy + y²/xy >= 2
x/y + y/x >= 2


Et la 2ème je sais pas comment factoriser les carrés que j'ai au numérateur.

EDIT : J'ai trouvé

Sachant que a, b, et c sont positifs, on peut écrire :

a(b-c)²+b(a-c)²+c(a-b)² >= 0 car a, b et c sont positifs et un carré est toujours positif donc la somme des produits est positif ou nulle. On a donc :


a(b-c)²+b(a-c)²+c(a-b)² >= 0
a(b²+c²-2bc)+b(a²+c²-2ac)+c(a²+b²-2ab) >= 0
ab²+ac²+a²b+bc²+a²c+b²c-6abc >= 0
[ab²+ac²+a²b+bc²+a²c+b²c-6abc]/abc >= 0/abc car abc positif
[ab²+ac²+a²b+bc²+a²c+b²c-6abc]/abc >= 0
[ab²+ac²+a²b+bc²+a²c+b²c]/abc -6 >= 0
[ab²+ac²+a²b+bc²+a²c+b²c]/abc >= 6
[ab(a+b)+ ac(a+c) + bc(b+c)]/abc >= 6
ab(a+b)/abc + ac(a+c)/abc + bc(b+c)/abc >= 6
(a+b)/c + (a+c)/b + (c+b)/a >= 6

voilà !

Correct ! Il suffisait aussi de remarquer que par exemple (a+b)/c = a/c + b/c et de faire ca pour les autres fractions puis d'utiliser la question 1 .