Allumettes et rectangles

On dispose de 10 allumettes identiques. Combien de rectangles différents de périmètre 10 ( une allumette étant prise comme unité ) peut on construire avec ?

Question bonus : si on dispose de N allumettes, N étant entier positif, quand est ce qu'on peut déjà construire un rectangle avec? Quand cela est possible, quel est le nombre de rectangles différents qu'on peut construire?

Pour le cas de 10 : il y a deux rectangles possibles : (longueur 4,largueur 1) et
(longueur 3,largeur 2).

Indice pour le cas général: notez L la longueur du rectangle et l sa largeur. Alors le périmètre N doit vérifier : N=2(L+l) . Donc N doit être nécessairement pair et supérieur à 4. Réciproquement il est clair que cette condition suffit

Je vous laisse la chance de dénombrer les cas possibles.

Mon petit doigt me dit que le nombre de rectangles possible est N/2 - 1, N pair et supérieur à 4. Peut-être le démontrer par récurrence, mais ce serait tout les 2n et je sais pas trop comment faire.

N = 6 le nombre de cas est 2 (2 rectangles de 1x2)
N = 8 le nombre de cas est 3 (1 carré de 2x2, et 2 rectangles de 1x3)
N = 10 nombre de cas 4 (2 rectangles de 1x4, 2 rectangles de 2x3)
N = 12 nombre de cas 5 (1 carré de 3x3, 2 rectangles de 4x2, 2 rectangles de 1x5)

D'ailleurs je sais pas si c'est un hasard mais on remarque que l*L = (nombre de cas) - 1