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Allumettes et rectangles

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1 Allumettes et rectangles le Lun 21 Nov - 12:00

Admin


Admin
On dispose de 10 allumettes identiques. Combien de rectangles différents de périmètre 10 ( une allumette étant prise comme unité ) peut on construire avec ?

Question bonus : si on dispose de N allumettes, N étant entier positif, quand est ce qu'on peut déjà construire un rectangle avec? Quand cela est possible, quel est le nombre de rectangles différents qu'on peut construire?

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2 Re: Allumettes et rectangles le Dim 27 Nov - 18:54

Admin


Admin
Pour le cas de 10 : il y a deux rectangles possibles : (longueur 4,largueur 1) et
(longueur 3,largeur 2).

Indice pour le cas général: notez L la longueur du rectangle et l sa largeur. Alors le périmètre N doit vérifier : N=2(L+l) . Donc N doit être nécessairement pair et supérieur à 4. Réciproquement il est clair que cette condition suffit

Je vous laisse la chance de dénombrer les cas possibles.

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3 Re: Allumettes et rectangles le Mar 13 Déc - 23:32

Rafik


Mon petit doigt me dit que le nombre de rectangles possible est N/2 - 1, N pair et supérieur à 4. Peut-être le démontrer par récurrence, mais ce serait tout les 2n et je sais pas trop comment faire.

N = 6 le nombre de cas est 2 (2 rectangles de 1x2)
N = 8 le nombre de cas est 3 (1 carré de 2x2, et 2 rectangles de 1x3)
N = 10 nombre de cas 4 (2 rectangles de 1x4, 2 rectangles de 2x3)
N = 12 nombre de cas 5 (1 carré de 3x3, 2 rectangles de 4x2, 2 rectangles de 1x5)

D'ailleurs je sais pas si c'est un hasard mais on remarque que l*L = (nombre de cas) - 1

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